1+1 no es 2.

Por Lorenzo Hernández • 7 ene, 2008 • Sección: Enseñanza, Hablar de Ciencia

 1+1 no es 2.En matemáticas 1+1 = 2. Pero esto no ocurre en muchas situaciones de la vida real. Lo mismo ocurre con la propiedad conmutativa de la suma (si se altera el orden de los sumandos no cambia el resultado) ¿es lo mismo mojarse el pelo y lavárselo con champú que lavárselo con champú y posteriormente mojárselo? Sergio Amat Plata, profesor del Departamento de Matemática Aplicada y Estadística de la Universidad Politécnica de Cartagena, nos redacta un artículo en el que incluye varios ejemplos cotidianos en los que utiliza una aritmética diferente. Un tema interesante para plantearselo a los alumnos y alumnas.

1. En una frutería podemos encontrar el kilo de peras a 1.5 euros y los dos kilos a 2 euros. Así, a + a no es igual a 2a.

2. Es más, podemos ir a un supermercado y leer “Compre uno y llévese otro de regalo” ( 2 ×1). Por lo tanto, a + a = a , lo cual sólo es posible en aritmética no diofantina.

3. Al mezclar una taza de cereales con una de leche el resultado es una taza con la mezcla, ya que, la leche es absorbida rápidamente por los cereales, así, 1 + 1 =1. Esta paradoja también ocurre al mezclar ciertos productos químicos.

4. Supongamos que deseamos realizar una llamada de teléfono en una cabina. Si una llamada local cuesta 20 céntimos de euros y disponemos de 35 céntimos, no tendríamos problemas en realizarla. Ahora bien, dado que la cabina sólo admite monedas de al menos 5 céntimos de euro, si tuviéramos los 35 céntimos en monedas de un céntimo no podríamos realizar la deseada llamada. En este submundo, sobre todo si se está solo, haciendo 1 + 1 +1 + … no llegaríamos nunca a 5 .

5. En física, existen valores finitos que son considerados como infinitos, este es el caso de la velocidad de la luz C . La teoría de la relatividad, afirma que es la velocidad mayor que puede alcanzar un cuerpo. Por lo tanto, dada una velocidad V tendremos que V + C = C.

6. En economía cantidades finitas tienen propiedades de objetos infinitos. Por ejemplo, si al precio de una casa le quitamos 30 euros, nos parecería que el precio es el mismo.

7. La aritmética utilizada por los ordenadores no puede ser clásica. En esta aritmética, cuando se ha de sumar una gran cantidad de números, y se quiere obtener un resultado aceptable, es mejor ir sumando en orden creciente, así, la propiedad asociativa no se verifica. Los errores de redondeo no aparecen en los cálculos teóricos, es decir, con la aritmética clásica.

8. Muchas de las variables físico-químicas no son aditivas: dos cuerpos a temperatura de 20º y 30º al mezclarse no tienen temperatura de 50º; lo mismo ocurre con el PH de la mezcla de dos disoluciones.

pixel 1+1 no es 2.

65 comentarios »

  1. En acústica, si tienes dos fuentes de ruido próximas de 1 dB, no estás escuchando un ruido a un nivel de 2 dB.

  2. Sea p(a) la función “precio” (de las peras). ¿Qué matemáticas dicen que necesariamente p(2a)=2p(a)?

  3. Muy bien si señor, es realmente interesante cuando se analizan cosas cotidianas que tenemos interiorizadas, y son analizadas con rigor matemático. :)

  4. Pues para ser profesor universitario tiene algunas lagunas importantes…

    3. Al mezclar una taza de cereales con una de leche el resultado es una taza con la mezcla, ya que, la leche es absorbida rápidamente por los cereales, así, 1 + 1 =1. Esta paradoja también ocurre al mezclar ciertos productos químicos.

    Evidentemente la leche no es igual a los cereales por lo tanto no pueden ser presentados como 1 ambos. Lo mismo se puede decir de la mezcla de productos químicos. El único caso en el que se podría aplicar a productos químicos seria una autopolimerización.

    8. Muchas de las variables físico-químicas no son aditivas: dos cuerpos a temperatura de 20º y 30º al mezclarse no tienen temperatura de 50º; lo mismo ocurre con el PH de la mezcla de dos disoluciones.

    Es evidente que dos cuerpos no van a tener temperatura de 50º en esas condiciones, dado que se está obviando que la temperatura es una propiedad “estadística” de la materia y habría que hacer el promedio ponderado de las masas de ambos cuerpos. Por cierto el pH, la primera en minúscula dado que es un operador matemático -log.

  5. La distancia entre dos puntos de una ciudad que posea metro es distinta si te mueves en la superficie que si utilizas el subterraneo. La medida euclidea no se puede usar en el subterraneo. A veces llegar de A a B toma más tiempo solo porque no están conectados directamente por la red y hay que hacer un transbordo en un punto intermedio, sin embargo a puntos más lejanos en la red (lejanos según la distancia euclidea) se llega antes sencillamente porque no hay trasbordos. La red de metro redefine totalmente el concepto de distancia en una ciudad. De ahi los clásicos anuncios de venta y alquiler de viviendas: “a 10 min del centro”.

  6. [...] Via CienciaOnline.com [...]

  7. muy interesante, pero que pasa con eso de no supar peras con manzanas? efectivamente si sumas uno de leche y uno de cereales el resultado es uno, pero no de leche ni de cereales sino de otra cosa, con lo cual decir a+a=a es engañoso e incorrecto lo adecuado seria a+b=c, concluyendo, las matematicas no engañan, son los humanos los k tragiversan.

  8. Da igual cuantos montones de arena juntes, el resultado siempre será un sólo montón…

  9. El razonamiento del 2×1 es una completa tontería. Aunque el segundo articulo no te lo compren siguen siendo dos articulos, así que 1 + 1 = 2. Así con todos los ejemplos que tienen precios, el precio es algo sujeto al criterio del vendedor, no se puede poner como ejemplo de nada.

  10. Hola Lorenzo, llegué a tu blog por el título de este artículo.
    Me encantó (artículo+blog=x!).
    Felicitaciones y muchas gracias por la iniciativa.
    Seguimos leyéndote.

  11. En binario tampoco se cumple.

    Me acuerdo de mi primera clase de la facultad donde pusieron: 1+1= 1.

    Todas mis tardes estudiando matemáticas a la mierda, por la patada que estaba dando mi profesor al libro de matemáticas de EGB. Después, de una hora y media de argumentación y de toma de contacto con los números binarios, me creí eso de que 1+1=1

    Luego se empezó a torcer la cosa con el Hexadecimal [una forma más cómoda para usar los números binarios]. Otra aventura… donde:

    5+5 = A
    8+7= F
    8+8 =10
    9+9 =13

    Me cuesta cogerle el sentido aún, pero es lo que hay.

  12. y 2+2=4 ?

  13. La verdad como argumentos me parecen bastante pobres. Lo único que demuestra el post es que hay que ser bastante bruto para aplicar aritmética directa donde no se debe.

  14. Y entonces, si en media Markt me venden un camara Sony a 500€ y en CArrefour me la venden a 550€, tenemos que 500=550?? juasss asi hasta mi hermano de 5 años saca mil ejemplos.

  15. Yo solo le hago caso a Fran Perea: 1+1 = 7

  16. Artículo : http://www.apac-eureka.org/revista/Volumen2/Numero_2_1/Amat_2005.pdf

    » autor: Tanatos

  17. Si ya lo decía Fran Perea.. :-)

    » autor: mipisha

  18. es 1.999999999999999 (Pentium dixit)

    » autor: tOz

  19. Fran Perea sigue creyendo que 1 + 1 = 7, así que tampoco os echéis muchas flores porque él es el amo xD

  20. [Usuario deshabilitado]

    » autor: –37699–

  21. “La libertad es poder decir libremente que dos y dos son cuatro. Si se concede esto, todo lo demás vendrá por sus pasos contados.”

    » autor: odracir

  22. La teoría de la relatividad, afirma que es la velocidad mayor que puede alcanzar un cuerpo. Por lo tanto, dada una velocidad V tendremos que V + C = C.

    ¡¡Hala!!

    Y Einstein revolviéndose en su tumba

    en.wikipedia.org/wiki/Velocity-addition_formula

    » autor: MrQeu

  23. Es un claro ejemplo de que ser “profesor universitario” no garantiza mucho…

    » autor: Selhenne

  24. 1+1 no es 2…

    En matemáticas 1+1 = 2. Pero esto no ocurre en muchas situaciones de la vida real. Lo mismo ocurre con la propiedad conmutativa de la suma (si se altera el orden de los sumandos no cambia el resultado) ¿es lo mismo mojarse el pelo y lavárselo con ch…

  25. cptspiff: 1+1=1 cuando utilizas ‘+’ como un operador logico y no como un operador aritmetico

  26. En realidad, en binario 1+1=10, no es para nada una patada al libro de egb, si es que lo entendiste en algun momento, y si la aritmética hexadecimal te parece una “aventura” antinatural, asumo que despues de esa primera clase fuiste a dos mas y despues dejaste la facultad, porque para el resto, es lo mas lógico del mundo.
    Cambiar el sistema de numeración no invalida en absoluto las reglas de la aritmética. A lo sumo, las generaliza un poco.

  27. d chico podia asegurar que 1+1=11 :-)

  28. [Usuario deshabilitado]

    » autor: –7798–

  29. Lo que es seguro es que no es 5 ni multiplo de 5…para evitar la rima facil, mas que nada…xD

    » autor: ComeKarma

  30. claramente estamos utilizando elementos de otros conjuntos que no son numeros, por lo que tratar de reprensentarlos como tales no es siempre lo mas conveniente, cuando se trata de sumar precios generalmente no hay problemas, salvo que entre una oferta como un 2×1 como ya vimos.
    en algunos casos algunos elementos pasan mas a comportarse como elementos neutros que como un elemento cualquiera, ejemplo un pan + aire= un pan aire+aire=aire, en otras ocasiones tienen propiedades absorventes como el 0 en una multiplicacion, es el caso de un 1 profesor y un alumno=una clase, 1 profesor y 100 alumnos=una clase.

    este tipo de objetos y sus comportamiento son estudiados en la teoria de grupos.

  31. 1+1 != 2…

    1+1 no es 2, o por qué el MundoReal™ no es como las matemáticas….

  32. Lo que comentas es curioso, pero hay algunos errores bastante gordos. Vamos por partes:

    “3. Al mezclar una taza de cereales con una de leche el resultado es una taza con la mezcla, ya que, la leche es absorbida rápidamente por los cereales, así, 1 + 1 =1. Esta paradoja también ocurre al mezclar ciertos productos químicos.”

    ¿Qué es lo que estás sumando? Si es el peso (masa) de la leche y el cereal, lo que dices es completamente falso, el resultado será la suma de ambos. Si lo que sumas es el volumen, lo mismo (siempre que no cometas el error de incluir el volumen del aire que contiene el cereal seco, que será reemplazado por la leche)

    “5. En física, existen valores finitos que son considerados como infinitos, este es el caso de la velocidad de la luz C . La teoría de la relatividad, afirma que es la velocidad mayor que puede alcanzar un cuerpo. Por lo tanto, dada una velocidad V tendremos que V + C = C.”

    Ésto es erróneo. Que c (en minúscula) sea el máximo valor posible para la velocidad no quiere decir que sea infinito. Por tanto V + c no es que sea igual a c, sino que, simplemente, es una velocidad imposible de alcanzar.

    “6. En economía cantidades finitas tienen propiedades de objetos infinitos. Por ejemplo, si al precio de una casa le quitamos 30 euros, nos parecería que el precio es el mismo.”

    ¿Y qué?. Que mil millones menos uno sea muy parecido a mil millones no implica que 1.000.000.000 = 999.999.999. Lo de “nos parecería” no es muy científico. Si es una cuestión de percepción, los átomos no existen, ¿no?

    “8. Muchas de las variables físico-químicas no son aditivas: dos cuerpos a temperatura de 20º y 30º al mezclarse no tienen temperatura de 50º; lo mismo ocurre con el PH de la mezcla de dos disoluciones.”

    ¿Y qué? Las temperaturas y el PH no se suman, sino que se compensan. Lo que sumas, si acaso, es el número de partículas que, al chocar entre sí, generan calor. Pero esa es otra historia.

  33. En programación, los números en coma flotante tienen propiedades muy particulares: Resulta que, por ejemplo, 4.0E40 es igual a 4.0E40 + 1, de forma que, por muchas veces que le sumemos 1 (o un número pequeño) a dicha (enorme) cantidad el resultado siempre seguirá siendo el mismo dentro de la memoria del ordenador, lo cual puede llevar a muchas sorpresas dentro de todo tipo de cálculos que trabajen con números muy grandes.

  34. [...] mas info aqui [...]

  35. Bueno, ahí va mi aportación.
    No podemos mezclar churras con merinas. La lógica difusa en la que nos movemos los seres humanos (1+1 diferente a 2) no se puede comparar de forma tan plana con la lógica formal (1+1=2) de las máquinas. ¿Quién entendería mejor la instrucción “torcer a la derecha despacito”, un conductor nóvel o un súper robot japonés?

  36. Hay una demostración por la cual llegas a que 1=2 aplicando reglas matemáticas…

  37. pues que quieres que te diga… este artículo me parece una auténtica chorrada repleta de obviedades

    Si yo me tiro a mi novia y tiene un orgamo, y después de 1 rato me la tiro otra vez y tiene 3 orgamos, eso no quiere decir que 1+1=4 . no le parece señor cientifico?

  38. 1 decibes + 1 decibel no seran 2 decibeles, pero 2 personas gritando son el doble de molestas que una sola gritando.
    de todas maneras si hay una excepcion matematica en la vida real, suele suceder en los sistemas que el todo sea mayor que la suma de sus partes debido a las propiedades emergentes, por otra parte nadie afirma que los sistemas sean un cuerpo abeliano donde la suma este definida.

  39. Vaya, pues una cosa muy curiosa… Probemos a pasar a Hexadecimal esto:
    209709307707418

    O, mejor puesto:
    48826 3234512922

    Un saludo

  40. soberana tontería de post y encima nos hace perder el tiempo.

    creía que era algun razonamiento interesante, que los hay, sobre 1+1=3 (por ejemplo), pero coincido con la mayoría, EVIDENTEMENTE, si sumamos cosas tan dispares como peras y manzanas, 1+1 puede ser lo que te venga en gana, si utilizas elementos con propiedades distintas de a la suma “tradicional”, PUES CLARO, no utilices las reglas de la suma “tradicional”…. por poner un ejemplo, ya que estamos:

    Lanzas una bola desde el balcón y tarda 6 segundos en tocar el suelo.
    PERO OJO!! si lanzas dos bolas desde el balcón NO tardan 12 segundos, tardan 6!!!
    entonces A=6, pero 2A=6 ?!!… manda…

    lo que realmente me sorprende es eso de que “sea profesor universitario”… así vamos.

  41. muy interesante… por cierto, que pesados los que van de listillos.
    “encuentro errores” “son argumentos bastante pobres” :P jajaja dan pena tíos… venga ya, tan baja tenéis la autoestima que necesitáis levantarla un poco?

    venga salir a tomar un poco el aire!

  42. en respuesta a jorger13 :

    alguna vez vi esa demostracion (voy a buscarla para colocarla aqui), pero un simple “juego de manos” matematico, porque en algun momento implica dividir por cero.

  43. Solo dos comentario…

    1.- Sobre el recurrente ejemplo 3
    1 TAZON de leche + 1 TAZON de cereales = 1 “TAZON!!!” de leche con cereales.

    2.- Recordad que las “matematica” es una Ciencias Exacta. ( Si no recuerdo mal )
    Lo que nos viene a enseñar, es que las matematicas no se pueden aplicar en todas las situaciones cotidianas que se nos presentan.
    Para eso estan la fisica, la quimica, la termodinamica,…. todas las otras ciencias.
    Que se basan en el calculo matematico.

    Un ejemplo de electricidad.
    La corriente que teneis en la calle consta de 3Fases ( R,S,T ) y un Neutro ( N )
    Entre R-N = S-N = T-N = 220 ( lo que teneis en casa )
    Entre R-S = R-T = S-T = 380
    Porque R-S-T = R-S-T-N = 380
    El que sepa sobre teoria de ondas lo sabra, el que no, se lo puede creer o no…

  44. Un artículo pe?imo, no sé a donde quiere llegar, pero me parece que quiere exponer paradojas inexistentes y absurdas. Coge como premisa 1+1=2 de la aritmética clásica y nos pone ejemplos de circunstancias en las que la aritmética clásica es inexistente porque son otras normas que rigen esa situación. Quizá está sacado de contexto o falta la parte del artículo que cuenta a dónde quiere llegar, pero lo repito, es pésimo.

  45. En general coincido con la mayoría, este articulo se quiso pasar de fumado cuando en realidad no tiene nada q ofrecer, incluso encuentro mas interesantes algunos comentarios, no las chorrradas como que:
    2 papas + 2 papas + 1 persona q las aplasta = 1 puré de papa…
    y respecto a lo q comentaba jorge13 yo solo eh visto una prueba de una igualdad,que demuestra que 3=2, y se puede demostrar incluso con otros números..

    a=b
    3a-2a=3b-2b
    3a-3b=2a-2b
    3(a-b)=2(a-b)
    3=2

    No es difícil ver el truco cuando se revisan las reglas de las matemáticas, pro si esta algo entretenido…

  46. “Ano Nimo en Ene 7th, 2008 dijo:

    En acústica, si tienes dos fuentes de ruido próximas de 1 dB, no estás escuchando un ruido a un nivel de 2 dB.”

    Aún más: si las ondas son complementarias, el resultado son 0 dB.

  47. muy bueno muy bueno
    es como este
    1 = 1^2/2 = (1^1/2)^2 = (-1^1/2)^2 = -1^2/2 = -1
    muy facil de ver el fallo

  48. en algunos lenguajes de programación se da que ’1′ + ’1′ es ’11′

    mi aporte :B

  49. Me alegran todos estos comentarios. Para los que hacen una mala crítica del artículo escrito por Sergio Amat Plata, tienen que tener en cuenta que está escrito para Eureka, que es una revista de didáctica. Es decir, va dirigido a profesores de instituto que tienen que aplicarlo para que los alumnos de 1 a 4 de ESO o de Bachillerato reflexionen. No se pueden hacer deducciones muy técnicas, no es ese el objetivo, sino hacer una pequeña revisión a situaciones de la vida cotidiana en donde 1+1 no es 2 para que el alumno vea más allá de las matemáticas académicas.

  50. me encanta las paginas estas de ciencia aunque no se mucha :pxdxdxd pero me esfuerzo todo lo k puedo jeje…:):D xdxdxd

  51. creo que una explicacion mas razonable para este problema seria este:
    si tenemos el decimal: 0.999999999999999999999999……
    seria un decimal periodico puro:
    0.^9
    y para transformar este periodico puro a fracciones sabemos que seria:
    9/9….y esto es igual a:
    1

    es por eso que si tenemos 1+1 esto seria igual a tener:
    0.999999999999999999999….+0.999999999999999999……
    lo cual no seria exactamente igual a 2

  52. No me gusta ser aguafiestas, pero a mi me parece que lo que se presenta es una colección de situaciones del mundo real mal planteadas en términos matemáticos. Todos los problemas descritos se pueden modelar correctamente y los resultados son correctos en ese caso.

  53. [...] Vía CienciaOnline [...]

  54. No es necesario salirse de las matemáticas para encontrarse situaciones en las que, por ejemplo, 1+1=0 , o 1+2=0, o 3+1=2, etc. , en donde los símbolos sí representan operadores aritméticos. Tan sólo es preciso interpretar los “números” como clases de equivalencia en ciertos cuerpos cociente, y me explico:
    Como sabrá cualquier estudiante de 1º de matemáticas, en el cuerpo Z/2Z sólo hay dos “números”, el 0 y el 1, y en dicho cuerpo hay definida una suma. Pues bien, se tiene que 1+1=0. El lector interesado y no iniciado en las matemáticas puede investigar un poquillo en cualquier libro de álgebra. No era mi intención chafarle a nadie ni romperle los esquemas aritméticos. El mundo del álgebra es así.

  55. Incluso, en el caso de los cereales y la leche, al mezclarlos y si tomamos como parámetro a medir, el peso. Si nos va a dar que 1+1 = 2. El peso del cereal mas el peso de la leche da como resultado exactamente la suma de ambos, metafóricamente 1+1=2

  56. En el caso de las tazas, una taza de leche y otra taza de cereales= a 2 tazas.. una de leche y otra de cereales…

    Todavia me acuerdo en el colegio cuando nos dijeron, 2 peras +3 manzanas y no se pueden sumar cosas diferentes, por tanto….

  57. [...] + 1 != 2 “1 + 1 no es 2″ – Albert Einstein, via cienciaonline.com encontramos la explicacion a esta enigmatica frase de este gran matematico, resulta que cuando se [...]

  58. Visto lo visto y por mis conocimientos puedo afirmar que en este espacio, llamado espacio euclideo, las propiedades ya estan definidas y sólo se pueden aplicar estas sumas a elementos del mismo tipo!! (ovejas con ovejar, peras con peras…)
    Para ello el link siguiente, en el cual se explica que es un espacio euclideo:

    http://personales.unican.es/camposn/espacio_euclideo.pdf

    Pero no es falso que en algunos casos se pueda dar que 1+1=1. Depende de como se definan dichas propiedades (adicion, multiplicacion,elemento opuesto,elemento nuetro…).

  59. A ver no me rayeeiis!! XD si tenemos 1 manzana y después ponemos otra manzana, entonces tenemos 2 manzanass… XD Conclusión 1 + 1 = 2! XDDDD Eso no kiere decir ke siempre se sumen!

  60. Saludos desde Mexico
    creo que no se necesita ser un especialista en materia para poder diferenciar una cosa de la otra, es evidente que las matematicas tienen restricciones en sus operaciones donde si sumas dos variables “diferentes” el resultado es la suma de las dos variables asi como si tienes una variable y la sumas es dos veces la variable ( X+X eso si es igual a 2X) desconozco por que tratan de mezclar situacuines que matematicamente representan dos variables que no depende una de la otra
    si de acuerdo leche mas cereal igual a una mezcla ¿pero de que ?? de leche con cereal
    el 2×1 en productos como popularmente lo conocemos es cuestion de economia ya que si adquieres productos por el llamado mayoreo las cosas son mas baratas y ahi intervienen factores uqe para nada se pueden cosiderar como iguales entonces aun que este señor del cual no recuerdo su nombre escriba para NYT no deja de combinar cosas que matematicamente tienen reestricciones como alguine lo comentaba anteriormente para eso existen otras ciencias como “fisica quimica y termodinamica donde se una como herramienta a las matematicas”

  61. [...] te aferres a lo que conoces, aunque 1 + 1 no sea 2, NO vas a hacer cambiar de opinión a la gente y es mejor decir “bueno, es cierto” e [...]

  62. sin condon 1+1=3
    y aveces hastA MAS

  63. Sí, hay que tener precaución.

  64. Interesante, sin embargo, claramente no se pueden mezclar peras con tractores; pero si esta bien para que intentemos pensar por fuera de nuestra zona de confort, ya que las matemáticas no se pueden aplicar a todo. Yo estudio una ciencia social, y como se ve en la bolsa de valores o la psicología humana el concepto de 1+1=2 no siempre tiene sentido, de hecho no se puede aplicar a fenómenos como la forma en que interactuán nuestras neuronas o el pronostico climático, ya que entre mas “lejano” sea el pronostico mayor incertidumbre. Pero si que nos han ayudado, aunque repito no lo solucionan todo, para eso existen otras ciencias y seguimos explorando nuevos campos del conocimiento; pero exactas como la matemática ninguna, si se le formulan las preguntas correctas si que da respuestas.

  65. Esta Teoría la había pensado desde niño…Creo que lo que existe es mas de lo que imaginamos..y los que critican creo son como los de la Santa Inquisición….De monos el Permiso de Crear y soñar…El mundo esta de por si controlado..y no todo ha salido bien!! Apostemosle a integrar nuevas propuestass!!

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