Hace algunas semanas, una conversación, que ahora mismo no recuerdo, con una alumna de 2º de Bachillerato terminó de la siguiente manera:

Alumna: “Si es que las matemáticas valen para todo”.

Yo: ¿Para todo? ¿Sirven, por ejemplo, para salvar un matrimonio?

Alumna: No, para eso no.

Quizá la conversación terminó en lo más interesante: dialogar sobre los límites de la ciencia. Pero en segundo hay que terminar el temario y no podemos «perder» una hora hablando de cosas que no van a ser evaluadas en selectividad.

Lo que supongo que quería decir dicha alumna es que las matemáticas se usan en muchos ámbitos de la vida, que sí es cierto. Pero no sirven para todo. Yo no intentaría enamorar a una mujer recitándole el teorema de Pitágoras por muy bello que sea (matemáticamente hablando). Quizá sí podría enamorarla explicándole su significado e incluso diciéndole que no siempre se cumple.

Supongo que esta alumna, como muchos, tiene la idea de que las leyes científicas y, mucho más, los axiomas y teoremas matemáticos corresponden a la “verdad”. Quizá esto sea culpa de cómo enseñamos la ciencia y en el poco hincapié que hacemos los profesores en los ámbitos de validez de una teoría o un teorema. Analizando los límites de un teorema o teoría científica podremos ver que esas “verdades” científicas son relativas.

Veamos dos casos muy famosos.

Teorema de Pitágoras y geometría euclídea.

Este famoso teorema dice lo siguiente:

“El Teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo) es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (los dos lados menores del triángulo, los que conforman el ángulo recto).” Wikipedia.

Falta algo en este típico enunciado que quizá nos diga más del teorema que el propio enunciado. Habría que añadir:

“para un triángulo rectángulo definido en un espacio euclídeo, el cuadrado de la hipotenusa, etc.”

El teorema es verdadero si el espacio es plano.

Sabemos que la geometría euclidiana lejos de ser la verdad absoluta y eterna como se supuso durante dos mil años, es sólo la geometría sumamente restringida y abstracta del plano; y sólo proporciona una aproximación a geometrías tan importantes como la del Universo y la de nuestra superficie terrestre. Así, el teorema euclídeo según el cual la suma de los ángulos de un triángulo es de 180º es falso en geometría esférica. Podemos verlo en el triángulo que tiene tres ángulos de 90º definido por un octante de esfera.

La siguiente expresión equivale a la bonita fórmula de la trigonometría esférica que queremos establecer:

alfa +beta + gamma = 180º x (1 + 4s/S)

S: superficie de la esfera.

s: superficie del triángulo.

Esta fórmula muestra con claridad que para un triángulo esférico “pequeño”, es decir, para un triángulo cuya área sea mucho menor que la de la esfera sobre a que está definido, puede considerarse que se cumplen aproximadamente las fórmulas de la geometría plana euclídea, o sea,

si s<<<S, entonces alfa+beta+gamma = 180º,

con un error que también se podría calcular con precisión. En función de la precisión deseada, en cada situación se decidirá si se tiene en cuenta o no la corrección de esfericidad (el término 4s/S). Sobre la esfera el teorema euclídeo es falso, pero puede utilizarse siempre y cuando el triángulo sea lo suficientemente pequeño.

De la misma manera, el teorema de Pitágoras es válido en el plano. Pero ¿qué es un espacio plano y cómo puede distinguirse de un espacio curvo? Precisamente, lo más sencillo es definir un espacio plano…¡utilizando para ello la validez del teorema de Pitágoras!

Relatividad de Einstein.

El éxito de la mecánica de Newton, especialmente en el ámbito de la astronomía, llevaron a los físicos de la primera mitad del XIX a otorgarle plena confianza. Habrá que esperar hasta comienzos del siglo XX para que las dificultantes crecientes que había encontrado el paradigma newtoniano lleven a aceptar su superación por una nueva concepción basada en la noción de campo y en la relatividad einsteiniana. Esa superación no es exactamente una sustitución, y la relación entre Einstein y Newton no es en modo alguno la que existe entre verdad y error. Los límites de los conceptos newtonianos quedaron puestos de manifiesto justamente en unas situaciones muy precisas:

• cuando se tuvieron en cuenta fenómenos en los que intervenían velocidades iguales o comparables a las de la luz (y, en primera instancia, los propios fenómenos luminosos);
• cuando nos sumergimos en el mundo cuántico, en el mundo de lo muy pequeño.
• cuando los entornos no son pequeños comparados con el radio de curvatura del universo.

Para velocidades mucho menores que la de la luz y a nuestra escala, la teoría newtoniana sigue siendo válida y, por tanto, al explicitar sus limitaciones, no la estamos debilitando sino que la reafirmamos, por lo menos en el interior de un ámbito de validez que podemos identificar.

De vez en cuando se enuncia algún postulado de la relatividad especial de Einstein sin remarcar sus límites. Uno de los que más se repite a la ligera es:

No se puede superar la velocidad de la luz.

Este enunciado, como todos los de la física, es verdadero, si…

• Este límite sólo se cumple en el vacío. En un medio natural, como le aire o el agua, la velocidad de la luz, debido a las interacciones entre las partículas cargadas (electrones) de los átomo del medio, es inferior a la velocidad en el vacío, y puede ser sobrepasada por agentes físicos menos interactivos. Por ejemplo, Los rayos X se propagan en la materia a una velocidad mu superiro a la de la luz visible y próxima a la velocidad en le vacío.
• En este enunciado también falta “ningún objeto material, ninguna información puede superar la velocidad de la luz”. En nuestra época, en el campo de la telemetría de precisión, es bastante precuente enviar una señal de láser a la Luna y captar la señal reflejada. Como la Luna se encuentra a una distancia de unos 400000 km, basta con hacer girar el láser a una velocidad de unas dos vueltas por segundo para conseguir que la mancha luminosa sobre la Luna se desplace más deprisa que la luz. Del mismo modo, ningún principio fundamental limita la velocidad de los puntos luminosos de las pantallas de los osciladores catódicos.
• Falta otra cosa: Nada con masa puede igualar o superar la velocidad de la luz. Tenemos que suponer que los fotones no tienen masa. La hipótesis de Einstein es, por tanto, bastante frágil y está continuamente a merced de que paarezca un nuevo resultado experimental que asigne al fotón un masa no nula y, por consiguiente, una velocidad variable.

Ponerle límites a una teoría científica la refuerza no la debilita como se suele pensar. Sólo cuando se conocen sus límites se puede asimilar y manejar completamente una teoría. Parace ser que la ciencia ha hecho creer que podía prescindir de esas limitaciones. Al limitar el alcance de sus enunciados, al adecuarlos a condiciones restrictivas de validez, la «verdad» de la ciencia no queda debilitada, antes al contrario. Precisamente ese carácter limitado, condicional y relativo de sus verdades es lo que permite a la ciencia ofrecer un espacio de seguridad intelectual en el que reina el reconfortante sentimiento de la certeza.

Cualquier teoría que haya sido corroborada en todas y cada una de las ocasiones está sujeta a que se produzca un hecho experimental imprevisible que marque nuevos límites a su ámbito de validez.

Es necesario reconocer que las teorías científicas que pueden consideararse superadas quedan al mismo tiempo reafirmadas en su ámbito de validez y se ven envueltas y protegidas por los inciertos avances de las teorías en desarrollo, en las que se producen la elaboración de nuevas «verdades».

Una teoría «falsa» (superada), y caracterizada como tal, goza una validez controlada y protegida por la teoría «verdadera» que la mejora y asume a su vez el riesgo permanente del error.

Fuente consultada: Conceptos contrarios o el oficio de científico. Jean-Marc Lévy-Leblond. Metatemas 70. 1996.