Hoy día, para saber a qué velocidad nos movemos en cada momento tan sólo tenemos que mirar un velocímetro, por ejemplo, el de un coche. Este se encarga de calcular la velocidad en cada instante del movimiento, lo que se denomina velocidad instantánea.

Es relativamente sencillo calcular la velocidad de un móvil que se desplaza a velocidad constante, puesto que en cada segundo recorre distancias iguales. Es decir, tan sólo tendríamos que calcular el espacio recorrido en un tiempo determinado (s=v·t). El problema surgía cuando la velocidad del objeto variaba. En la época de Galileo no había herramienta que ayudase a determinar la velocidad instantánea de un objeto.

Para introducir el problema que conlleva saber qué velocidad tiene un objeto en un momento determinado podemos ver el siguiente vídeo de Adrián Paenza sore la caída libre.

Fue en el siglo XVI cuando, con el desarrollo del cálculo por parte de Isaac Newton y Gottfried Leibniz, se pudo solucionar la cuestión de obtener la velocidad instantánea de un objeto. La resolución de este problema fue uno de estos casos en que se resolvió a la vez un problema físico y otro matemático.

El comportamiento de un móvil puede representarse mediante un gráfico que muestra su distancia del punto de partida de cada momento. Si el movimiento es uniforme la gráfica será una línea recta.

En otro caso será una curva.

Representaciones gráficas del movimiento uniforme acelelardo.

La velocidad del cuerpo es la medida en que aumenta la distancia. Es claro que la inclinación de la línea puede representarla. Cuando la curva sube muy abruptamente, eso quiere decir que un pequeño incremento de tiempo corresponde un gran aumento de distancia. Cuando al pendiente es muy suave, eso significa que el mismo incremento de tiempo corresponde a un menor incremento de distancia.

Por tanto, el problema de calcular la velocidad es el problema de calcular la inclinación de la línea. Para saber la velocidad en un momento en un momento determinado t, tenemos que hallar la inclinación de la línea en un punto, que corresponda al tiempo t. Ahora bien, la inclinación de una curva es la de su tangente. Por tanto, nuestro problema consiste en hallar la inclinación (esto es, la dirección exacta) de la tangente en un punto. Así, un problema mecánico es esencialmente idéntico a un problema geométrico.

El problema de la tangente había sido resuelto por los antiguos en muchos casos especiales. Pero Newton y Leibniz, los principales autores del cálculo diferencial, inventaron un método general (llamado diferenciación) por el cual puede resolverse siempre. Las leyes físicas se refieren a relaciones entre cantidades variables. Cuando una variable y depende de otra variable x, se dice que y es función de x. Así, por ejemplo:

• la distancia a que se encuentra un móvil respecto a su punto de partida es función del tiempo;
• la atracción entre dos imanes es función de su distancia;
• la tensión de un muelle es función de su longitud.

Frecuentemente nos interesa comparar los incrementos o razones de cambio de dos variables funcionalmente relacionadas. Como en el caso de la distancia y el tiempo, el problema es siempre equivalente al de hallar la dirección de la tangente a una curva. Por esta razón el problema de la tangente no tiene ni muchos menos un interés exclusivamente geométrico. En sus primeros tiempos, el cálculo diferencial se llamó a menudo “método de las tangentes”.

Veamos el siguiente vídeo para entender el concepto de derivada:

Es uno de estos casos en que Física y Matemáticas están estrechamente relacionadas y donde surge un problema a resolver en ambas ramas. Muy propio para plantear una situación problemática interdisciplinar en el aula.