Antes de ver cómo Balmer llegó a la famosa ecuación hay que recordar, de forma muy breve, algunas cosas:

Sabemos que la luz blanca la podemos descomponer en  el espectro visible a través de un prisma. Este espectro es continuo, como podemos ver en la siguiente figura:

Pero cuando se calienta un gas y la luz que emite pasa por un prisma, el espectro que produce no es continuo sino discreto, es decir, sólo podemos observar ciertas líneas. En el caso del hidrógeno podemos ver la siguiente secuencia que corresponde a la región del visible:

Este resultado espectral nos introduce en uno de los misterios más profundos del átomo y nos sumerge en una de las teorías más revolucionarias de la física que comenzó a principios del siglo pasado: la física cuántica.

Cuando Balmer entró en escena (1885) para explicar la relación entre estas líneas aún no había explicación física para los espectros que se observaban.

El espectro atómico más sencillo es el del átomo de hidrógeno. En la zona visible del espectro aparecen solo cuatro rayas, como se puede observar en las imágenes anteriores, cuyas longitudes de onda fueron medidas con gran precisión en 1884 por el sueco Anders Ångström. Al año siguiente intervino Johann Balmer, un profesor de matemáticas que daba clases en escuelas técnicas y colegios femeninos de Basilea, si ciudad natal. El científico suizo decía a sus amigos y colegas que si el daban una serie de números, podía encontrar una fórmula matemática que los relacionaras. Un colega suyo lo retó a que lo hiciera con las recientes medidas del espectro de hidrógeno, y Balmer lo consiguió.

¿Qué hizo Balmer?

Balmer partió de los valores, en nanómetros, de las cuatro longitudes de onda:

• 656,21
• 486,07
• 434,01
• 410,12.

Si dividimos por el número más pequeño (410,12), sin escribir todos los decimales, obtenemos:

Ahora usamos las matemáticas para escribirlos de manera racional, es decir, cocientes de dos números enteros.

Recordatorio:

Para convertir un Decimal a una Fracción sigue estos pasos:

• Paso 1: Escribe el decimal dividido por 1.
• Paso 2: Multiplica los números de arriba y abajo por 10 una vez por cada número luego de la coma. (Por ejemplo, si hay dos números después del decimal, multiplicamos por 100, si hay tres por 1000, etc.)
• Paso 3: Simplifica (reduce) la fracción.

Para simplificar hay que sacar factores. Para eso puede utilizar esta web.

Si lo hacemos con cada uno:

Tendremos entonces:

Ahora, si multiplicamos los cuatro números por 9/8:

Simplificando:

Si queremos que los denominadores aparezcan en orden creciente, podemos multiplicar el segundo y el cuarto por 4/4, que es simplemente multiplicar por 1. Así obtenemos:

Balmer se dio cuenta de que los numeradores son cuadrados de números enteros sucesivos (3,4,5,6) y los denominadores se obtienen restando a los numeradores el número 4, convenientemente escrito como el cuadrado de 2.

Por tanto, podemos escribir las fracciones anteriores de la siguiente forma:

Si a cada línea espectral se le asocia un número entero n, las longitudes de onda son proporcionales al cociente donde n toma valores, 3, 4, etc.:

Podemos calcular que la constante de proporcionalidad (k) es de 364,56 nm:

Como es natural, esta expresión no contiene ninguna información física, es simplemente un juego con números. Pero como el propio Balmer conjeturó, se pudo extender a otras líneas espectrales al reemplazar 2² por los cuadrados de los siguientes enteros.

Si se quiere considerar las frecuencias, dado que son inversamente proporcionales a las longitudes de onda, se obtiene que, salvo por una constante global, vienen dadas por la serie:

La serie de Balmer, cuyas líneas caen en la zona visible del espectro, representan los tránsitos desde n =3,4,5…a n=2.

Este hallazgo fue muy afortunado y adquirió un interés mayor cuando otros científicos lo generalizaron y pudieron caracterizar el espectro completo del hidrógeno. Las frecuencias de las líneas espectrales son proporcionales a las inversas de dos números enteros al cuadrado. La expresión matemática, conocida como relación de Rydberg-Ritz, es

donde

El éxito del modelo de Bohr reside en que pudo explicar teóricamente, proponiendo un modelo de átomo, los resultados experimentales. Aquí os dejo una imagen sobre los fundamentos del modelo de Bohr y cómo llegamos matemátciamente a la expresiónde Rydberg-Ritz.

(Pinchar en la imagen para ampliar.)

Fuente consultada: ¿Existe el mundo cuando no lo miras? / Heisenberg. El principio de incertidumbre, de Jesús Navarro Faus. RBA.