¿Por qué nunca completé mi colección de cromos?

Por Lorenzo Hernández • 25 jul, 2012 • Sección: Preguntas con Respuesta

 ¿Por qué nunca completé mi colección de cromos?

Hoy día, los niños, como han hecho sus padres y abuelos, coleccionan cartas de fútbol, de los Gormiti, de Pokémon, etc.

No recuerdo haber  terminado ninguna colección completa de cromos o cartas en mis tiempos, aun teniendo tres hermanos más y bastantes amigos con los que podía intercambiarlas. Pero esto, que supongo le ocurrió a casi todo el mundo, se entiende fácilmente si utilizamos las matemáticas para hacer unos sencillos cálculos.

Supongamos que una colección de cartas contiene un total de 50 cartas y que todas se producen en la misma cantidad. De esto último no estoy seguro de que sea así porque seguramente conseguir a Cristiano Ronaldo o a Messi es más difícil que conseguir a cualquier jugador del Granada C. F., por ejemplo.

La primera carta que consigo de la colección siempre será una carta que no tenga. Con la segunda, existe una posibilidad de 49/50 de que no la tenga. Con la siguiente carta la posibilidad se reduce a 48/50, y así sucesivamente.

Después de conseguir 40 cartas diferentes habrá una posibilidad de 10/50 de que la siguiente sea una de las que nos faltan. De modo que, por término medio, tendremos que comprar otras 50/10, esto es, cinco veces más, para tener una posibilidad decente de obtener una de las cartas que necesitamos para completar el juego. Por tanto, el número total de cartas que necesitamos comprar por término medio para completar las cincuenta cartas será la suma de cincuenta términos:

50/50 + 50/49 + 50/48 +…+50/3 + 50/2 + 50/1

donde el primer término es el caso indudable de la primera carta que conseguimos y cada uno de los siguientes nos dice cuántas cartas tendremos que comprar para conseguir el segundo, tercer y demás componentes de la colección de cincuenta.

Si generalizamos, como les gusta hacer a los matemáticos, con cualquier número de cartas N, por término medio tendremos que comprar un total de…

(N/N) + (N/N-1) + (N/N-2) +…+ N/2 + N/1 cartas.

Sacando factor común en los dividendos de cada término, esto es sencillamente

N ( 1+1/2+1/3+…1/N)

La serie del paréntesis es la famosa serie “armónica”. Cuando N se vuelve grande una buena aproximación es 0,58 + ln(N). Por tanto, cuando N se vuelve grande de forma realista, tenemos que el número de cartas que necesitamos comprar por término medio para completar nuestra colección es aproximadamente

Cartas necesarias  aprox.: N x [0,58 + ln(N)]

En el caso de 50 cartas la respuesta es 224,5 (225 cartas).

Veamos una colección de cromos de fútbol. Supongamos que cada equipo consta de 12 cromos (11 jugadores más el entrenador). Si hay 20 equipos en la primera división el número total de cartas para completar la colección es de 240. Aplicando la fórmula propuesta el número total de cartas aproximadas es de:

240 x [0,58 + ln(240)] = 1454,5

Redondeando, 1455 cromos. Ahora entiendo porqué nunca completé mi colección.

Se puede hacer algún que otro cálculo interesante, como cuánto más difícil es completar las segunda mitad de la colección que la primera, qué impacto puede suponer el intercambio de cartas con amigos o amigas o que la probabilidad de que cada carta aparezca no sea la misma, con lo que el problema se vuelve mucho más complicado aunque sigue siendo posible resolverlo.

Y, quizá, el cálculo más interesante de todos para los padres y madres que se dejan el dinero en la colección de si hijo o hija: ¿cuánto dinero me costará completar la colección?

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5 comentarios »

  1. [...] "CRITEO-300×250", 300, 250); 1 meneos ¿Por qué nunca completé mi colección de cromos? http://www.cienciaonline.com/2012/07/25/¿por-que-nunca-complete-…  por equisdx [...]

  2. hola no tienes en cuenta q el resto de tus amigos tmb compran y puedes cambiar , por eso los fabricantes le metian un factor extra q era reducir la tirada de algunas cartas para q el efecto amigos nomfuera problema en sus beneficios

  3. Lo comento al final del post.

    Saludos.

  4. Yo era de los que coleccionaba los cromos cuando era niño, allá por los 90, y recuerdo que cada equipo se componía de unos 20 cromos (jugadores, entrenador, escudo), y algunas casillas eran dobles, es decir, que se pegaban dos jugadores. Si a esto le añadimos que también estaban al final las páginas dedicadas a los fichajes… Me da a mí que son muchos más cromos los que hay que comprar.

    Yo lo que hago es comprar la guía del MARCA, que sólo cuesta 6 euros y me sale mucho más barato, además de que tiene muchísima más información.

    Acabo de enlazar tu post en la entrada que acabo de publicar:
    http://elmundoderafalillo.blogspot.com.es/2012/08/no-es-mio-pero-es-interesante-xlviii.html

    Espero que te guste ;)

  5. yo lo que deduzco de estas lineas es que tenias pocos amigos en la infancia …. yo he completado muchas colecciones de niños , incluso me iba a puerta de toledo a cambiar cromos , no completaba las colecciones en dos semanas como la gente quiere hacer ,si no que tardaba meses , recuerdo las colecciones de la liga, los mundiales de mexico,italia ,brasil …… y todas en mi estanteria , lo siento pero la variable de la perseverancia no la has tenido en cuenta

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