Muchas de las fórmulas más bellas y famosas de la física, que suelen aparecen en libros divulgativos, libros de texto o en medios de comunicación, y son enseñadas en la ESO y Bachillerato, son ecuaciones lineales.

Una ecuación de primer grado o ecuación lineal significa que es un planteamiento de igualdad, involucrando una o más variables a la primera potencia, que no contiene productos entre las variables, es decir, una ecuación que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia.

Una aplicación o función f(x) es lineal si se cumplen dos cosas:

• a) f(ax)=af(x) donde a es un parámetro escalar
• b) f(x+y)=f(x)+f(y)

Y esas dos se pueden unir en una sola que es la que se usa en la práctica:

• f(ax+by)=af(x)+bf(y).

Lo que podemos deducir que un sistema lineal lo podemos descomponer en partes más sencillas, como veremos más adelante en el principio de superposición.

Ejemplo de ecuaciones lineales en Física son:

• En cinemática: s=vt, v=at (siendo v y a constantes)
• En mecánica: F=-kx, ley de Hooke (siendo k constante); F=ma, 2º ley de Newton (siendo m constante);  W=Fs, trabajo mecánico (siendo F constante);  p=m·v, momento lineal (siendo m constante), etc.

La linealidad de un sistema permite a los investigadores hacer ciertas suposiciones matemáticas y aproximaciones, permitiendo un cálculo más sencillo de los resultados. Ya que los sistemas no lineales no son iguales a la suma de sus partes, usualmente son difíciles (o imposibles) de modelar, y sus comportamientos con respecto a una variable dada (por ejemplo, el tiempo) es extremadamente difícil de predecir.

Es decir, la linealidad en ciencia implica sencillez y, en consecuencia, falta de linealidad casi equivale a complejidad. La falta de linealidad implica fallo del principio de superposición lo que abre paso al comportamiento complejo.

Principio de superposición.

El principio de superposición o teorema de superposición es un resultado matemático que permite descomponer un problema lineal en dos o más subproblemas más sencillos, de tal manera que el problema original se obtiene como “superposición” o “suma” de estos subproblemas más sencillos.

Técnicamente, el principio de superposición afirma que cuando las ecuaciones de comportamiento que rigen un problema físico son lineales, entonces el resultado de una medida o la solución de un problema práctico relacionado con una magnitud extensiva asociada al fenómeno, cuando están presentes los conjuntos de factores causantes A y B, puede obtenerse como la suma de los efectos de A más los efectos de B.

La física incorpora leyes lineales como descripciones aproximadas de situaciones reales. Un ejemplo familiar es la ley de Hooke:

La ley de Hooke (F=-kx) establece proporcionalidad, esto es, linealidad entre una fuerza y la deformación que produce- la variación en la longitud de un muelle que es estirando o comprimido, por ejemplo. La ley de Hooke es válida en condiciones muy generales con tal que la fuerza en cuestión sea suficientemente débil. Esto es, las leyes lineales no son leyes fundamentales, sino descripciones fenomenológicas aproximadas. Su validez expira cuando el estímulo deja de ser suficientemente pequeño. La linealidad es una excepción de la naturaleza.

Si generalizamos la segunda ley de Newton (F=ma) observamos que pierde su linealidad:

Y si añadimos las generalizaciones relativistas:

Por ejemplo, para el movimiento rectilíneo de una partícula en un sistema inercial se tiene que: