Intuyendo fórmulas en física: la ley de gravitación.

Por Lorenzo Hernández • 18 abr, 2012 • Sección: Enseñanza

ley de gravitacion 1 Intuyendo fórmulas en física: la ley de gravitación.

En principio, este iba a ser un solo post pero, al ser demasiado largo, he decidido hacer varias entregas. En esta primera entrega vamos a intentar llegar a la ecuación de gravitación de Newton a partir de la intuición y utilizando los mínimos cálculos matemáticos.

Siguiendo los consejos de Canals (2008) que afirma que “es una barbaridad iniciar el aprendizaje de las matemáticas con el lenguaje numérico”, el cálculo matemático o la expresión matemática de una ley, aunque necesario en ciencia, debe ser el final y no el principio. Decía Einstein que “Ningún científico piensa con fórmulas. Antes de que el físico comience a calcular debe tener en su cerebro el curso de los razonamientos. Estos últimos, en la mayoría de los casos, pueden ser expresados con palabras sencillas; los cálculos y las fórmulas constituyen el paso siguiente.”

Vamos a intentar seguir esta filosofía.

En física se suelen realizar multitud de demostraciones matemáticas para obtener las ecuaciones que rigen las leyes. Pero quizás, sobre todo a niveles bajos o medios, más que calcular fórmulas se tendrían que intuir. Lo voy a ejemplificar en la ecuación de la gravitación de Newton para aclarar la idea.

La ley de gravitación universal de Newton.

La fórmula para calcular la fuerza que se ejercen dos cuerpos con masa cualquiera es la que conoceréis todos:

ac679af9c7704405f89f9e25fb88068d Intuyendo fórmulas en física: la ley de gravitación.

En cualquier libro de Física mínimamente avanzado, o en Internet, podéis encontrar cómo se llega matemáticamente a esta expresión. Pero vamos a intentar intuirla.

Supongamos que ya hemos deducido que la fuerza que hace que una manzana caiga hacia la Tierra es la misma que hace que la Luna esté dando vueltas alrededor de la Tierra (la fuerza gravitatoria). La Luna no cae porque está en órbita, es decir, está en continua caída hacia la Tierra. Esto ocurre cuando la fuerza centrípeta (Fc) (o centrífuga si describimos el movimiento desde un cuerpo en un sistema de referencia en rotación) es igual a la gravitatoria. ¿Pero qué forma tiene la ecuación de la fuerza centrípeta? ¿De qué depende esta fuerza?

Supongamos dos bailarines patinado agarrados uno en frente del otro fuertemente de las manos y rotando. Si un espectador tuviera que hacer un esquema de las fuerzas que se ejercen en ambos dibujaría algo parecido a esto (despreciamos gravedad y rozamiento):

acción reacción rotación Intuyendo fórmulas en física: la ley de gravitación.

Si tuvieran que dibujarlos los mismo patinadores tendrían que dibujar la fuerza ficticia que ellos sienten hacia afuera cuando giran: la fuerza centrífuga.

¿De qué factores dependerá esta fuerza? Es decir, ¿cuándo aumentará o disminuirá dicha fuerza si cambiamos variables en el sistema?

Podemos intuir que si aumenta la masa de uno de ellos o de ambos aumentará la fuerza con que se tienen que agarrar. Dependerá también de la longitud de los brazos. Unos brazos muy largos produciría un efecto mayor que unos cortos, porque ciertamente para las personas que están girando en un círculo mayor al experiencia sería más mareante. Finalmente, dependería de la velocidad: cuanto más deprisa se hicieran girar a los bailarines, más tirarían de los brazos y tendrían una mayor sensación de verse apartados del centro.

Podemos deducir que la Fc será función de la masa m, de la velocidad con la que gira, velocidad angular w y la distancia que los separa (el radio r). Realmente, la fórmula de la Fc se expresa de la siguiente manera:

 Intuyendo fórmulas en física: la ley de gravitación.

Si ponemos w en función del periodo (T):

velocidad angular Intuyendo fórmulas en física: la ley de gravitación.

obtendríamos:

fuerza centrípeta1 Intuyendo fórmulas en física: la ley de gravitación.

Un siglo antes que Newton, Kepler había argumentado que los planetas giran alrededor del Sol en una órbitas que obedecen a una ley sencilla:

tercera ley de kepler Intuyendo fórmulas en física: la ley de gravitación.

Si sustituimos  Intuyendo fórmulas en física: la ley de gravitación. en la ecuación de la fuerza centrípeta (o centrífuga):

fuerza centrípeta 2 Intuyendo fórmulas en física: la ley de gravitación.

simplificando:

fuerza centrípeta 3 Intuyendo fórmulas en física: la ley de gravitación.

(El asterisco (*) indica que se trata de una nueva constante)

Si lo aplicamos al sistema Tierra-Luna, de la fórmula podemos deducir que la fuerza con que la Tierra atrae a la Luna dependerá de una constante, de la masa y de la distancia que las separa. Pero… ¿de la masa de quién? ¿De la Tierra o de la Luna?

Para entender por qué aparece en la ecuación de la gravitación universal dos masas hagamos el siguiente ejercicio mental:

Imagina un imán del tamaño de un camión y un pequeño tornillo. Si dejo el tornillo libre se dirigirá rápidamente hacía imán debido a la fuerza magnética que ejerce el imán sobre el tornillo. El imán gigantesco prácticamente ni se inmuta. Ahora vayamos disminuyendo el tamaño del imán y agrandando el tamaño del tornillo hasta el momento en que tengan el mismo tamaño. En este punto, ¿quién se acerca a quién? ¿Quién atrae a quién? ¿quién tiene el honor de atraer al otro y quién se deja atraer? Ninguno es el privilegiado, ambos se atraen y se unirán en un punto intermedio (recuerda la tercera ley de Newton: acción- reacción). Cuando el imán era muy grande, también era atraído por el tornillo pequeño aunque, debido a su tamaño, no percibíamos que se movía. Lo mismo ocurre con la Tierra y una pequeña pelota. La pelota cae hacia la Tierra y la Tierra hacia la pelota pero, al ser la primera mucho más grande que la segunda, se desplaza un espacio insignificante.

Por tanto, intuimos que en la ecuación falta algo: otra masa. La ecuación nos queda:

fuerza gravitación Intuyendo fórmulas en física: la ley de gravitación.

Experimentos posteriores determinaron con precisión el valor de dicha constante ( Intuyendo fórmulas en física: la ley de gravitación.) y se designa con la letra G. Por tanto, nos queda finalmente la ecuación de la gravitación universal de la siguiente manera:

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pixel Intuyendo fórmulas en física: la ley de gravitación.

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6 comentarios »

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  2. jajajjaa, me hacen mucha gracia estos post, partiendo de que soy actualmente estudiante de ingeniería con cierta tendencia científica ademas de por supuesto el gran interés practico y útil de la ingeniería.
    Estas explicaciones me recuerdan mucho a los intentos de explicaciones que daban los libros de Bachillerato e incluso puede que de la ESO, ya no me acuerdo….y que en cierta manera es como se han descubierto muchas “formulas fisicas” a lo largo de la historia antes de que se pudieran explicar esos “efectos gravitatorios” a partir de algunos postulados no muy intuitivos que consiguen explicar no solo eso, sino mucho mas…
    No creo que a nivel divulgativo interese una explicación a partir de las leyes de Maxwell verdad?

  3. Me encanta esta explicación !!

    Tengo 16 años y estudiante de bachillerato científico. En mi libro , por el hecho de tener que avanzar material no salen muchas explicaciones tan desarrolladas .Sobre esta formula solo sale un pequeño párrafo que te dice cuáles son los factores importantes y cúando aplicala . En resumen : el libro lógicamente se centra en usar y no explicar fórmulas ; ésto último lo intentaba mi profesor cuando el tiempo de clase se lo permitía para que aprendiesemos a razonar. Pero yo siempre quise aprender las cosas a fondo (hasta donde puedaI) , y aquí está tu página.

    Muchas grácias!

  4. [...] Figura 19 http://www.cienciaonline.com/2012/04/18/intuyendo-formulas-en-fisica-la-ley-de-gravitacion/ [...]

  5. [...] Figura 19 http://www.cienciaonline.com/2012/04/18/intuyendo-formulas-en-fisica-la-ley-de-gravitacion/ [...]

  6. Ayúdenme a resolver este problema

    calcule la altura sobre la tierra a la cual la gravedad tiene un valor de la mitad de su valor en la superficie. datos (Mt=5,98×10 a la 24 kg) (Rt= 6,37×10 a la 6)

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