Libros de texto (III): las elipses de Kepler.

Por Lorenzo Hernández • 15 mar, 2019 • Sección: Enseñanza, Libros

La exagerada representación de las elipses de Kepler es uno de los típicos errores de los libros de texto de secundaria (y de otros libros). Quizás es necesario, desde el punto de vista pedagógico, exagerar la elipse para diferenciarla de las órbitas circulares de Copérnico (el cuál también introdujo epiciclos), analizar sus propiedades y explicar mejor las leyes de Kepler. Pero resulta necesario no solo indicar que es una representación, sino que dicha representación es exagerada, muy exagerada. Tampoco se suele introducir una ilustración de la imagen real de los trabajos de Kepler para establecer la órbita de Marte, que aparece en su libro Astronomía Nova de 1609. Supongo que en muchos libros se indicará que la excentricidad de las órbitas es baja, pero al alumnado (y a todos) se les queda grabadas las imágenes de las elipses. Esto, como comentaré más adelante, tiene varios problemas. A continuación, muestro tres ejemplos que encuentro en tres libros de texto de 4º ESO de tres editoriales españolas de los años 2016 y 2017.

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Figura. 1. Ejemplo de representación de la segunda ley de Kepler.

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Figura.2. Ejemplo de representación de la segunda ley de Kepler.

leyes de Kepler Libros de texto (III): las elipses de Kepler.

Figura 3. Ejemplo de representación de las tres leyes de Kepler.

La excentricidad (e) de una elipse se puede definir como la proporción entre las medidas de la distancia entre focos respecto al eje mayor de la elipse. Es decir, es un valor que determina la forma de la elipse, en el sentido de si es más redondeada o si se aproxima a un segmento. Hay varias formas de calcula la excentricidad. Una de ellas es dividiendo la semidistancia focal (c) entre el semieje mayor de la elipse (a). e=c/a. Si los focos coinciden con el centro de la circunferencia c=0 y, por tanto, e = 0. Es decir, hablamos de una circunferencia. Cuando el valor de c/a tiende a uno se aproximará a un segmento.

 Libros de texto (III): las elipses de Kepler.

Figura 4. Elipse.

Otra es a partir de los dos semiejes a y b:


 Libros de texto (III): las elipses de Kepler.

Algunos ejemplos de excentricidad son los siguientes:

ejemplos de excentricidades Libros de texto (III): las elipses de Kepler.

Figura. 5. Ejemplos de excentricidades.

La excentricidad de las órbitas de casi todos los planetas es muy baja:

  • Mercurio 0,206
  • Venus 0,0068
  • Tierra 0,0167
  • Marte 0,0934
  • Júpiter 0,0485
  • Saturno 0,0556
  • Urano 0,0472
  • Neptuno 0,0086
  • Y si contamos a Plutón: 0,25

Por ejemplo, la comparación gráfica de la órbita elíptica de Mercurio con un círculo sería así:

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Figura 5. Comparación de la trayectoria de Mercurio medida por Tycho Brahe (es la elipse punteada) con un círculo (línea continua) de radio igual a su semieje mayor.

Podemos observar que la excentricidad de Marte, que es la que midió Kepler es de 0.0934, es decir, prácticamente un círculo. Es así, precisamente, como aparece en el libro de Kepler.

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Figura 6. Trazado de la órbita de Marte según Kepler. Astronomia Nova (1609).

Dibujar las órbitas como elipses exageradas nos ayuda a comprender la segunda ley de Kepler donde la velocidad de los planetas varía según la distancia al Sol, de tal manera que barren áreas iguales en tiempo iguales. Pero posteriormente, cuando se hace un análisis dinámico del movimiento de la Tierra alrededor del Sol y se deduce la tercera ley de Kepler a partir de la ley de gravitación de Newton se considera una órbita circular, premisa que entra en contradicción con las otras dos leyes.

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Figura 7.

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Figura 8. Deducción matemática de la tercera ley de Kepler a partir de la ley de gravitación de Newton.

Choca bastante que la ley de los períodos se relacione al mismo tiempo con las órbitas elípticas que aparecen en la figura 3 con la órbita circular de la figura 6.

Si tuviéramos que elegir una de las dos imágenes es mucho más acertado elegir la circunferencia teniendo en cuenta la excentricidad de la órbita de la Tierra. La distancia de la Tierra al Sol en el afelio es de 152.600.000 km y en el perihelio de 147.500.000 km. La diferencia es de 5.100.000. Es decir, en el afelio, la Tierra se encuentra a sólo 3% del Sol, que en el perihelio.

El dibujar las elipses tan exageradas suele llevar a otro error típico: pensar que cuando la Tierra está más cerca del Sol es verano y cuando está más lejos es invierno. De hecho, en la explicación de las estaciones se suele seguir cometiendo el error de, al querer dejar claro que el Sol se sitúa en uno de los focos, colocar la Tierra mucho más cerca del Sol en el afelio que en el perihelio.

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Figura 9. Representación de la órbita de la Tierra alrededor del Sol

Aunque esta idea es fácil de combatir sabiendo que las estaciones son distintas dependiendo del hemisferio de la Tierra, observando las elipses tan exageradas es fácil pensar que la distinta distancia puede afectar en la temperatura de la Tierra. Quizás se queda más grabado en la memoria dicha elipse exagerada que la propia inclinación del eje de la Tierra respecto a la eclíptica.

Un error quizás mayor y más difícil de difuminar es el siguiente: si las elipses eran tan pronunciadas, ¿cómo no se dio cuenta nadie antes de Kepler? ¿Cómo fue tan difícil desterrar el círculo? Como he comentado, las elipses eran mucho menos atenuadas y solo fueron posibles gracias a la calidad de las observaciones de Tycho Brahe, únicas en su época, que permitió a Kepler obtener sus leyes.

El problema de todo lo comentado es que, aunque un docente sepa todo esto, dudo que al alumnado pueda discriminar tantos errores en tan poco tiempo.

Recordad: los libros de texto son solo un recurso más.

Fuentes:

  • Isaza, K. J. R., Benítez, A. G., & Mosquera, Y. A. (2015). Una recontextualización de las Leyes de Kepler en la enseñanza media desde un enfoque histórico y epistemológico. Lat. Am. J. Sci. Educ, 2, 22065. http://www.lajse.org/may15/12132_Rios.pdf
  • Fig 4. https://www.universoformulas.com
  • https://docplayer.es/14323674-El-hechizo-de-la-elipse-introduccion.html
  • Fig. 5. http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/kepler.html#c4
  • Fig. 6.La Tierra de los mitos al saber. Hubert Krivine. Biblioteca Burdián. 2011
  • Fig.7. https://www.fisicalab.com
  • Fig.8. http://cienciacomonunca.blogspot.com/2014/06/deduccion-de-la-tercera-ley-de-kepler.html
  • Fig. 9. aula2005.com
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