Deduciendo el área del círculo con quesitos.

Por Lorenzo Hernández • 11 mar, 2013 • Sección: Ciencia cotidiana, Curiosidades, Enseñanza

IMG 2230 Deduciendo el área del círculo con quesitos.

Si se le pide a un matemático que demuestre la fórmula del área de un círculo quizá escriba lo siguiente:

área del circulo Deduciendo el área del círculo con quesitos.

Si no sabemos nada de matemáticas veremos una secuencia de símbolos sin sentido. Si sabemos algo, podemos ver que lo que se está produciendo es un cálculo integral de dos variables, el ángulo de la circunferencia y su radio.

Y, como es lógico, de nada sirve esta integral doble para explicar a un niño por qué el área de un círculo o la longitud de una circunferencia responde a esa ecuación y qué es ese símbolo que aparece llamado número pi.

Debe de haber una manera más fácil de llegar a esa fórmula si ya el área del círculo se conocía dos mil años antes de que estos métodos de cálculo apareciesen en el siglo XVII.

Además, mal empezaríamos si enseñáramos geometría a los niños (y adultos) yendo en contra de su esencia: la medida (geometría significa medida de la tierra).

Para llegar a dicha fórmula vamos a usar el queso que suelen vender en forma de quesitos triangulares. Vamos a seguir los siguientes pasos:

  • Los sacamos de su envase.
  • Lo ponemos en una mesa e intentamos formar un rectángulo poniendo los quesitos enfrentados.
  • Medimos con una regla uno de los lados del rectángulo que va a corresponder al radio de la circunferencia:

IMG 2233 266x200 Deduciendo el área del círculo con quesitos.IMG 2234 266x200 Deduciendo el área del círculo con quesitos.IMG 2235 266x200 Deduciendo el área del círculo con quesitos.

  • Medimos ahora el otro lado, que va a corresponder a la mitad de la longitud de la circunferencia:
IMG 2236 266x200 Deduciendo el área del círculo con quesitos.IMG 2237 266x200 Deduciendo el área del círculo con quesitos.

Con un margen de error, podemos observar que un lado mide 17,5 cm y el otro 5,4 cm. Como hemos dicho, 17,5 es lo que mide la mitad de la longitud de la circunferencia por lo que la longitud total será 17,5 · 2 = 35 cm.

La longitud de la circunferencia.

Ahora razonemos un poco. Es lógico pensar que la longitud de la circunferencia que forman los quesitos será proporcional al diámetro. Es decir, cuanto mayor sea el diámetro del círculo (más grandes sean los quesitos), mayor será la longitud de la circunferencia. Pero, ¿cuándo crece el diámetro, en que proporción crece la longitud, el doble, el triple…? A esa proporción que no conocemos vamos a llamarla k y será nuestra constante de proporcionalidad. Así, podemos escribir que:
longitud de la circunferencia Deduciendo el área del círculo con quesitos.

Donde lc es la longitud de la circunferencia, k la constante anteriormente presentada y d el diámetro del círculo.
Como sabemos, el diámetro es el doble del radio, por lo que podemos escribir:

longitud de la circunferencia radio Deduciendo el área del círculo con quesitos.
Sustituyamos ahora las medidas tomadas:
valor de k Deduciendo el área del círculo con quesitos.
Vemos que, aunque hemos cometido errores en la medida que nos hemos tenido en cuenta, nos hemos acercado bastante al famoso número pi (3,14159…). Si hacemos circunferencias cada vez más grandes, medimos con precisión y dividimos la longitud entre el diámetro, observaremos que aparece siempre el mismo número, el número pi.

El área del círculo.

El área del rectángulo que hemos formado será lado por lado, como un lado es la mitad de la longitud de la circunferencia (lc) y el otro lado el radio (R) podemos escribir:
área del círculo Deduciendo el área del círculo con quesitos.
área del círculo pi Deduciendo el área del círculo con quesitos.
Ya tenemos la fórmula del área del círculo.



pixel Deduciendo el área del círculo con quesitos.

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4 comentarios »

  1. Aviso: Tienes el blog infectado con algo que te llena de basura los RSS.

  2. Me lo han dicho varias personas.

    Voy a ver lo que puedo hacer.

    Muchas gracias por avisar.

    Saludos.

  3. En primer lugar tenes que demostrar que K es una constante, vos supones que lo es pero no lo demostras.
    En segundo lugar el “rectangulo” que formaste acomodando las partes no es un ractangulo, supongo que no tengo que aclarar por que.
    Y al final de la nota te mandaste un despeje fatal de un solo paso que no se sabe de donde salio PI y como por arte de magia aparecio la famosa ecuacion.

    Hay que ser mas cuidadoso, disculpame.

  4. Exacto Georgre.

    Es verdad, uno de los lados que corresponde al radio no es exactamente lo que mide uno de los lados del supuesto rectángulo.

    También es verdad que no es un rectángulo perfecto.

    Son dos pequeñas aproximaciones para simplificar el ejercicio.

    No he comprobado que k es una constante, aunque es fácil de hacer ya que solo hay que ir haciendo una circuferencia cada vez más grande.

    Por útlimo, puede que lleves razón que paso de k a pi directamente sin indicar nada. Como anteriormente ya se relacionan pensaba que se entendía bien.

    Muchas gracias por tus apreciaciones.

    Un saludo.

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